고윳값과 벡터
1. 고윳값과 벡터
(1) 정의
체 F에 대한 벡터공간 V위의 선형사상 $L: V \to V$에 대하여 다음 두 조건
- $v \neq \overrightarrow{0}$
- $L(v) = \lambda v$
를 만족하는 $\lambda \in F$와 $v \in V$를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다.
ex) \(v = (2,3), L \to M = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}\)
\(L(v) \to Mv = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
(2) 고유방정식
$n \times n$ 행렬 M에 대하여 $\lambda$가 M의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 다음 방정식
\(det(\lambda I_{n} - M) = 0\)
을 만족하는 것이다. 이 방정식을 고유방정식이라 하며, 좌변의식을 고유다항식이라 한다.
(단, $I_{n}$은 $n \times n$ 단위 행렬)
ex) \(M = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}, \lambda = -2\)에 대해
\(det(\lambda I_{n}-M) = det(-2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}) - \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -3 & 2 \\ \end{pmatrix} = -6+6 = 0\)
ex) \(M = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}\)의 고윳값 찾기
$det(\lambda I_{n}-M) = 0$
\(det\begin{pmatrix} \lambda -1 & 2 \\ -3 & \lambda+4 \\ \end{pmatrix} = (\lambda+2)(\lambda+1) = 0\)
(3) 고유공간
선형사상 $\lambda I_{n} - M$의 핵을 고윳값 $\lambda$의 고유 공간이라 한다.
(단, $I_{v}$는 항등사상) 따라서 고유공간의 영벡터가 아닌 벡터는 고유벡터이다.
또한 L의 고유벡터들로 구성된 V의 기저를 선형사상 L의 고유기저라 한다.
ex) \(M = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}, \lambda= -1\)일 때
\((\lambda I_{n}-M)v=0 \Leftrightarrow \left ( -\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix} \right ) \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} = 0\)
\(\Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} = 0\)
매개변수를 s로 뒀을때 $v_{1} = s, v_{2}=s$ 이다. s = 1일때 v는 (1,1)이므로 고유벡터는 (1,1)이 된다.
2. 대각화
(1) 대각화
① 정의
두 정사각행렬 A,B에 대하여 방정식
\[B = P^{-1}AP\]를 만족하는 대각행렬 B와 가역행렬 PRㅏ 존재하면, 행렬 A는 대각화 가능 행렬이라고 한다. 또한 이 경우 행렬 P는 A를 대각화한다고 한다.
ex) \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}, P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\) 이라할때
\[P^{-1} = \frac{1}{3-2} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\]\(P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{pmatrix}\)
② 정리
$n \times n$행렬 A에 대하여 다음 두 명제는 동치이다. 1) A은 대각화 가능 행렬이다. 2) A은 n개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다.
③ 대각화 하는 방법
$n \times n$행렬 A에 대하여
- n개의 선형독립인 고유벡터를 찾아 대각화 가능 행렬인지 확인한다.
- n개의 고유벡터 $v_{1}, …, v_{n}$로 부터 행렬 P = ($v_{1},v_{2}… v_{n}$)을 만든다.
- $P^{-1}AP$은 대각행렬이 된다.
ex) \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}\)에 대한 P? $\lambda = -1, \lambda= -2 \Rightarrow (S,S), (2t,3t)$
$P_{1} = (1,1) P_{2} = (2,3)$
\(P= (P_{1},P_{2}) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\)
\(P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)
$P^{-1}AP=B$
(2) 중복도
① 정의
$\lambda_{0}$가 n$\times$n 행렬 A의 고윳값이면 이에 대응하는 고유공간의 차원을 $\lambda_{0}$의 기하적 중복도라 한다. 또한 A의 고유다항식에서 $\lambda - \lambda_{0}$가 인수로 나타나는 횟수를 $\lambda_{0}$의 대수적 중복도라 한다.
② 정리
정사각행렬 A에 대하여 다음 두 명제는 동치이다. 1) A은 대각화 가능 행렬이다. 2) A의 모든 고윳값에 대해서 기하적 중복도와 대수적 중복도는 같다.
ex1) \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\)
$det(\lambda I_{3} - A)=0$
$\Leftrightarrow (\lambda-1)(\lambda-2)^{2} = 0$ \(\left\{ (-2,1,1) \right\}\) 기하적 : 1, 대수적 : 1
\(\left\{ (0,1,0),(-1,0,1) \right\}\) 기하적 : 2, 대수적 2 따라서 행렬 A는 대각화 가능 행렬이다.
ex2) \(B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\)
$det(\lambda I_{2}-A)=0$
$\Leftrightarrow (\lambda -2)^{2} =0 $
\(\left\{ (1,0) \right\}\) 기하적 : 1, 대수적 2
중복도가 다르므로 행렬 B는 대각화 불가능 행렬이다.
(3) 닮음 불변량
① 정의
두 정사각행렬 A, B에 대하여
\[B = P^{-1}AP\]를 만족하는 가역행렬 P가 존재하면 A,B는 서로 닮은 행렬이라 하고,
기호로 A ~ B라 표현한다.
② 닮음 불변량
서로 닮은 두 행렬의 다음과 같은 성질들은 서로 일치한다.
1) 행렬식
2) 가역성
3) rank
4) nullity
5) 고유다항식
6) 고윳값
7) 고유공간의 차원
8) 대각성분들의 합
9) 대수적 중복도
10) 기하적 중복도
3. 케일리 헤밀턴 정리
임의의 정사각행렬 A과 그 고유 다항식
\[f(\lambda)=det(\lambda I - A)= \sum_{n}^{i=0}a_{i}\lambda^{i}\]에 대하여 f(A)=O이 성립하며, 이를 케일리-헤밀턴정리 라고 한다.
(단, 여기서 O는 영행렬)
ex) \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}\)
\(f(\lambda) = det(\lambda I_{2}-A)= det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 2 \\ -3 & \lambda+4 \\ \end{pmatrix} = \lambda^{2} + 3\lambda + 2\)
\(f(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix} ^{2} + 3\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = O\)