벡터 2
수학적 벡터
벡터 공간
물리적 벡터에서 정의된 것과는 좀 다르다. 앞서 포스팅한 대수구조를 통해 정의하게 되는데 벡터 공간이란 체 $F$에 대한 가군 (V,+,·)을 벡터공간, V의 원소를 벡터라고 한다. 이때 +는 벡터의 덧셈이고, ·는 벡터의 스칼라배다.
이게 무슨 소리냐면 집합과 그 위의 결합법칙과 교환법칙이 성립하며 항등원과 역원을 갖는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조에
집합과 그 위의 결합법칙과 교환법칙이 성립하며 항등원과 역원을 갖는 하나의 이항 연산을 갖추었으며 다른 하나의 연산은 결합법칙과 교환법칙이 성립하며 항등원을 가지며, 0이 아닌 원소는 역원을 가지되 대수구조 자체로는 원소가 둘 이상이며 분배법칙이 성립하는 대수구조에서 원소를 가져와 곱셈을 정의한 대수구조를 벡터 공간이라고하며
벡터공간이라고 불리는 대수구조에서의 원소를 벡터라고 한다.
선형 생성
1. 부분 벡터 공간
벡터 공간 V 상에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 대하여 그 자체로서 벡터공간이 되는 V의 부분집합 W를 V의 부분벡터공간 또는 부분공간이라 한다.
2. 선형 생성
벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 $S={v_{1},v_{2},…,v_{n}}$ 내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진,
V의 부분벡터공간을 S의 (선형)생성 span(S)이라 한다.
즉, \(span(S) = \left\{ \sum_{i=1}^{n} k_{i}v_{i} | k_{i}\in F, v_{i}\in S \right\}\)
이때 S가 span(S)을 (선형)생성한다라고 한다.
표기하게 되면 다음과 같은 꼴로 표기된다.
\[k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+k_{3}v_{3}...\]선형 독립 (Linearly independent)
벡터 공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 $S={v_{1},v_{2},…,v_{vn}}$에 대하여
\(k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+...,k_{n}v_{n} = \overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow k_{1}=k_{2}=...=k_{n}=0\) 이면 S가 선형 독립이라고 한다.
만약에 $k_{1}=k_{2}=k_{3}=…=0$이 아닌 다른 해가 존재하면 S는 선형 종속이라고 한다.
여러 벡터 공간
노름 공간 (Norm space)
노름이 부여된 K-벡터공간 (V, ||·||) 노름이란 $ \forall u,w \in V \forall k \in K $ 에 대해 아래 세 조건을 만족시키는 함수 $\left| \cdot \right| : V \to [0, \infty )$이다. $(K\in {R,C})$
1) $ \left| kv \right| = \left| k \right| \left| v \right| $
2) $ \left| u+v \right| \leq \left| u \right| + \left| v \right| $
3) $ \left| v \right| = 0 \Leftrightarrow v = \overrightarrow{0} $
내적 공간
내적이 부여된 K-벡터공간 (V, <·,·>) 내적이란 $ \forall u,w \in V \forall k \in K $ 에 대해
아래의 네 조건을 만족시키는 함수 $\left< \cdot ,\cdot \right> : V \times V \to K$이다. $(K\in {R,C})$
1) $ \left< u+v, w \right> = \left< u,w \right> + \left< v,w \right> $
ex) <(1,0) + (0,1), (2,3)> = <(1,1),(2,3)> = 1·2 + 1·3 = 5
<(1,0) , (2,3)> + <(0,1), (2,3)> = 1·2+0·3+0·2+1·3 = 5
2) $ \left< ku,v \right> = k\left< v,u \right> $
3) $ \left< u,v \right> = \left< \overline{v,u} \right> $
※ 복소수체에서 갖고 았을 때 켤레복소수기호 $\overline{v,u}$
4) $ v \neq \overrightarrow{0} \Rightarrow \left< v,v \right> > 0 $
유클리드 공간
음이 아닌 정수 n에 대하여 n차원 유클리드 공간 $R^{n}$은 실수 집합 R의 n번 곱집합이며, 이를 n차원 실수 벡터공간으로써 정의하기도 한다.
이 위에 내적 $\left< u,v \right> = \sum_{i=1}^{n}u_{i}v_{i}=u\cdot v$을 정의하면 점곱, 스칼라곱이라고 한다.
기저와 차원
기저
벡터공간 V의 부분 집합 B가 선형독립이고 V를 생성할 때, B를 V의 기저라 한다.
차원
B가 벡터공간 V의 기저일 때 B의 원소의 개수를 V의 차원 dim(V)라 한다.
정규 기저
다음 조건을 만족하는 노름공간 V의 기저 B를 정규기저라고 한다.
\(\forall b \in B, \left\| b \right\| = 1\)
직교 기저
다음 조건을 만족하는 내적공간 V의 기저 B를 직교 기저라고 한다.
\(\forall b_{1},b_{2} \in B, \left< b_{1},b_{2} \right> = 0\)
정규 직교 기저
정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저를 정규직교기저라 한다. 특히 $r^{n}$의 정규직교기저 {(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1)} 를 표준 기저라 한다.