선형 사상

1. 선형 사상

(1) 선형사상

① 정의

선형 사상은 관례적으로 L로 표기한다 (Linear map)
F-벡터공간 V,W에 대하여 V의 성질을 보존하는, 다음 두 조건을 만족하는 사상 L : V -> W
1) 가산성 : $L(u+v) = L(u) + L(v) (u,v \in V)$
2) 동차성 : $L(kv) = kL(v)v (k \in F, v \in V)$

② 관련 용어

L : V->W가 선형사상 일 때,

• 핵
  \(ker L = L^{-1}\left ( \overrightarrow{0} \right ) = \left\{ v \in V | L(v)=\overrightarrow{0} \right\}\), 0벡터의 원상집합
• 상
  \(im V = L\left ( V \right ) = \left\{ L(v) \in W | v \in V \right\}\), 치역
• 자기사상 : $V = W$인 L, 정의역과 공역이 같을때
• 단사사상 : $ L(u) = L(v) \Rightarrow u = v $ 인 L
• 전사사상 : $ L(V) = W $ 인 L, 치역과 공역이 같을 때
• 동형사상 : 단사사상인 전사사상

• 자기동형사상(automorphism) : 자기사상인 동형사상

• 항등사상(identity map) : $L(v)= v$인 $L(=I_{v})$
• 사상의 합성 : 두 선형 사상 $L_{1} : V \to U, L_{2} : U \to W$의 합성은 $L_{2} \circ L_{1} : V \to W$로 쓴다.
• $L_{2} \circ L_{1} =I_{v}$일때, $L_{2}$를 $L_{1}$의 왼쪽 연사상(Left Inverse Map), $L_{1}$을 $L_{2}$의 오른쪽 역사상(Right Inverse Map)이라 한다.
• 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상을 양쪽 역사상 또는 역사상(Inverse Map)이라 한다.

(2) 여러 선형 사상

$L : V \to W$가 선형 사상이고 $v \in V$일때,
① $L(v) = \overrightarrow{0}$ : 영사상
② $L(v) = v$ : 항등사상
③ $L(v) = kv$ (단, k는 스칼라)
④ $L(v) = M_{v}^{T}$
(단, \(M \in \mu _{m \times n} (F), V = F^{n}, W = F^{m}\))
⑤ \(L(v)=\left< v,v_{0} \right>\) (단, $v_{0}\in V$)
※ $M_{v}^{T}$에서 T는 튜플로 전치시켰다는 이야기

2. 선형대수학의 기본정리

F-벡터공간 V,W에 대해 V에서 W로의 선형사상들의 집합을 L(V,W)라 하고,
다음과 같이 L(V,W) 위에 합과 스칼라배를 정의한다. $(v \in V, k \in F)$

• $(L_{1}+L_{2})(v) = L_{1}(v) + L_{2}(v)$
• $(kL)(v) = kL(v)$

이제 F위의 $m \times n$ 행렬들의 집합을 $\mu _{m\times n}(F)$라 하고, 두 사상 f,g를 다음과 같이 정의한다. \(f : L(V,W) \to \mu _{m\times n}(F), f(L)= \left [ L \right ]^{B_{v}}_{B_{w}} = M\) \(g : \mu _{m\times n}(F) \to L(V,W) , g(M)= L_{M}\left ( \left [ L_{M}(v) \right ]_{B_{w}} = M\left [ v \right ]_{B_{v}} \right )\)

그러면 f와 g는 모두 동형 사상이다. 또한 두 사상 f와 g는 서로 역사상 관계이다.

※ 기호 정의

• $B_{V}$는 V의, B_{W}는 W의 순서기저, 즉 기저의 원소들은 순서가 정해져있고 바뀌지 않는다.
• $v \in V, v=k_{1}v_{1}+ … + k_{n}v_{n}$에 대해 \(\left [ v \right ] _{B_{V}} = (k_{1}, ..., k_{n})^{T}\)
• \[\left [ L \right ]^{B_{V}}_{B_{W}} = \left ( \left [ L(V_{1}) \right ]_{B_{W}} ... \left [ L(v_{n}) \right ]_{B_{W}} \right )\]

3. 차원정리

(1) 차원 정리

유한자원 벡터공간 V와 선형사상 L: V->W에 대하여 다음이 성립한다.
$dim(V) = dim(kerL)+dim(imL)$

(2) 비둘기집 원리

① 따름 정리

차원이 같은 두 유한 차원 벡터공간 V,W 사이에 선형사상 L이 정의되어있으면 다음이 성립한다.
L은 전사 $\Leftrightarrow$ L은 단사 $\Leftrightarrow$ L은 전단사

② 비둘기집 원리

공집합이 아닌 두 유한집합 A, B의 크기가 서로 같을 때, 함수 $f : A \to B$는 다음을 만족한다.
f는 전사 $\Leftrightarrow$ f는 단사 $\Leftrightarrow$ f는 전단사

※ 이산 수학 시간에 배운 비둘기 원리는 조금 다르다.
n개의 비둘기 집이 있고 n+1 마리의 비둘기가 있을 때 최소 한 개의 비둘기 집에는 두 마리의 비둘기가 배정된다는 뜻인데, 실질적으로 이게 동치인지는 좀 더 알아봐야할 것 같다.

4. 계수정리

차원 정리의 행렬 버전이라고 생각하면 편하다.

(1) 관련 용어

행렬 $M_{m\times n}(F)$에 대하여

• 열공간 : M의 열벡터들로 생성된 공간, 즉 m x m 행렬에서 열들을 벡터로 보고 선형생성해서 만들어지는 공간
• 열계수 : 열공간의 차원이며 col-rankM이라 부름
• 행공간 : M의 행벡터들로 생성된 공간
• 행계수 : 행공간의 차원이며 row-rankM이라 부름
• 영공간 : 연립방정식 MX = O의 해공간, 여기서 X는 미지수행렬이며, O은 영행렬임
• nullityM : M의 영공간의 차원

ex) $ M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2
1 & 0 & -1
\end{pmatrix} \in M_{2\times 3}(R)$ 일때
열공간 : \(span \left\{ (3,1),(1,0),(2,-1) \right\}, col-RankM=2\)
행공간 : \(span \left\{ (3,1,2),(1,0,-1) \right\} = span \left\{ (1,0,-1),(1,0,-1) \right\} = \left\{ (k,m, -k+5m)|k,m \in \mathbb{R} \right\}, row-RankM=2\) 영공간 : \(MX = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x + y + 2z = 0 \\ x - z = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = t, z = t, y = -5t\)

(2) 계수정리

① 계수정리

행렬 $M \in \mu _{m\times n}(F)$에 대하여 다음이 성립한다.
\(col-rankM = row-rankM\)
이때 행렬 M의 행공간 및 열공간의 공통차원을 M의 계수 rankM이라 한다.

② Rank-Nullity 정리

행렬 $M \in \mu _{m \times n}(F)$에 대하여 다음이 성립한다.
\(n = rankM + nullityM\)

참고 자료

• 이상엽Math - 선형대수학 4강. 선형사상