연속체 가설
1. 집합론의 역설
(1) 칸토어의 역설
① 칸토어의 정리
임의의 집합 X에 대하여 #X < #P(X)이다.
즉, X의 기수보다 X의 멱집합의 기수가 크다.
② 칸토어의 역설
모든 집합들의 집합을 U, 그 기수를 #U=k라 하자. 그러면 칸토어의 정리에 따라 U의 멱집합의 기수 #P(U)는 #P(U) = $2^{k}$ > k = #U이지만. 이는 #U $\geq$ #P(U)이어야 하는 가정에 모순 된다. 따라서 U는 존재하지 않는다.
(2) 러셀의 역설
모든 집합들의 집합을 U라고 하자. 그러면 S = \(\left\{ A \in U | A \notin A \right\}\)은 하나의 집합이 된다.
만약 $S \in S$라고 하자. 그러면 S의 정의에 의해 $S \notin S$이다. 만약 $S \notin S$라고 하자. 그러면 S의 정의에 의해 $S \in S$이다. 따라서 U는 존재하지 않는다.
※ 이러한 역설이 발생하는 이유
집합의 조건이 엄밀하지 않았기 때문이다.
-> 이러한생각은 공리적 집합론의 시작이 되었음.
2. 공리적 집합론(Axiomatic set theory)
(1) ZFC
현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 다음 10가지 공리 및 공리꼴을 가지고 집합론을 구성한다.
- 확장공리
- 짝공리
- 공집합공리
- 무한공리
- 합집합공리
- 멱집합공리
- 분류공리꼴
- 정칙성공리
- 치환공리꼴
- 선택공리(Axiom of choice)
(2) 그외의 집합론
① NBG
ZFC의 보존적 확장 형태(원래 있던 공리들에서 추가적인 공리로 확장된 형태)로, 고유 모임을 포함하는 집합론
② MK
NBG에서 재귀적 정의(Self reference)를 허용한 집합론
3. 연속체 가설
(1) 정의
① 간토어의 연속체 가설
두 초한기수 $\aleph_{0}$ 와 $\varsigma$에 대하여 $\aleph_{0} < x < \varsigma$를 만족하는 기수 x는 존재하지 않는다.
② 일반화 연속체 가설
임의의 초한기수 k에 대하여, $k < x < 2^{k}$ 를 만족하는 기수 x는 존재하지 않는다. (사실상 칸토어의 연속체 가설과 비슷함)
(2) ZFC 와의 관계
연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. (ZFC가 포함하고 있는 10개의 공리에서 도출할 수 있는게 아니다) 즉, ZFC에서는 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.
(3) 다른 공리와의 관계
① 구성 가능성 공리
ZFC에 구성 가능성 공리를 추가하면 일반화 연속체 가설이 참이다.
② 고유 강제법 공리 (Proper Falsing Axiom)
고유 강제법 공리를 가정하면, 칸토어의 연속체 가설은 거짓이다.