집합의 크기
1. 집합의 분류
(1) 유한, 무한 집합
① 동등
두 집합 X, Y에 대하여 전단사 함수 $f : X \to Y$가 존재하면 X와 Y는 동등이다.
($X \approx Y$ 또는, $f: X \approx Y$)
이 말인 즉슨 집합의 크기가 같다.
② 유한, 무한집합
집합 X의 적당한 진부분집합 Y가 X와 동등하면 X는 무한 집합이다.
그리고 무한 집합이 아닌 집합을 유한 집합이라 한다.
ex) (0,1) $ \approx R$
$\therefore R$은 무한 집합이다.
③ 여러 가지 정리
1) 공집합 $\varnothing $ 은 유한 집합이다.
2) 무한집합을 포함하는 집합은 무한이다.
4) 전단사함수 $f: X \to Y$에 대하여 X가 무한집합이면 Y도 무한집합이고, X가 유한집합이면 Y도 유한집합이다.
5) 무한집합 X의 부분집합 Y가 유한이면 $X \to Y$는 무한집합이다.
(2) 가부번, 비가부번집합
① 가부번집합 (Denumerable set)
기본적으로 숫자로 셀 수 있는 집합을 가부번집합이라고 한다.
(한자로 가능할 가, 붙일 부, 차례번으로 차례를 붙일 수 있는 집합)
집합 X가 $X \approx N$일때 X를 가부번집합이라 한다.
기본적으로 가부번집합은 자연수 집합과 동등이기때문에 무한 집합이다.
② 가산집합 (Counterable set)
유한집합이나 가부번집합을 가산집합이라 한다. (유한개면 셀 수 있으므로)
③ 여러 가지 정리
1) 가산집합의 부분집합은 가산집합이다.
2) 가부번집합들의 합집합은 가부번이다.
3) N X N은 가부번집합이다.
4) Z(정수)는 가부번집합이다.
5) Q(유리수)는 가부번집합이다.
6) R(실수)의 부분집합 (0,1)은 비가부번이다.
7) 모든 무리수의 집합은 비가부번집합이다.
8) C(복소수)는 비가부번집합이다.
2. 기수 (Cardinal Number)
(1) 기수의 개념
① 기수 : 집합의 크기를 나타내는 수. card A 또는 #A
1) 각 집합 A에 대해서 #A는 유일하다.
2) #A에 해당하는 집합 A는 항상 있다.
3) $ A = \varnothing \Leftrightarrow $ #A=0
4) \(A \sim \left\{ 1, \cdots , k \right\}\) 이면 #A=k \(\left ( k \in \mathbb{N} \right )\)
5) $A \approx B \Leftrightarrow $ #A = #B
② 유한기수, 초한 기수
유한기수
유한집합의 기수
초한기수
무한집합의 기수
※ 대표적인 초한기수
- 가부번집합의 기수
#$\mathbb{N} = \aleph_{0}$ - 연속체(예를 들어 0에서 1사이의 실수 개수 같은)의 기수
#$\mathbb{R} = \varsigma$
③ #A < #B
A는 B의 한 부분집합과 동등이고 B는 A의 어떤 부분집합과도 동등이지 않다.
1) #A$\leq $#A
2) A가 B의 부분집합과 동등이고 B도 A의 부분집합과 동등이면 A와 B는 동등이다.(#A=#B)
3) #A$\leq $#B 이고 #B$\leq $#C이면 #A$\leq $#C이다.
(2) 기수의 연산
① 기수 합
서로소인 두 집합 A,B의 기수를 각각 a,b라고 할때 a+b=#($A\cup B$)
② 기수 곱
집합 A, B의 기수를 각각 a,b라고 할때 ab=#(A X B)
③ 연산 법칙
임의의 기수 x,y,z에 대하여 다음이 성립한다
1) 교환 법칙
x+y = y+x
xy = yx
2) 결합 법칙
(x+y)+z = x+(y+z)
(xy)z = x(yz)
3) 분배 법칙
x(y+z)=xy+xz
④ 여러 가지 정리
1)$\aleph_{0} + \aleph_{0} = \aleph_{0}$
2)$\varsigma + \varsigma = \varsigma$
3)$\aleph_{0} + \varsigma = \varsigma$
4)$\aleph_{0}\aleph_{0}=\aleph_{0}$
5)$\varsigma\varsigma = \varsigma$
6)$\aleph_{0}\varsigma=\varsigma$
(3) 기수의 지수
집합 A, B에 대하여 #A=m, \B=n일 때
① \(B^{A} = \left\{ f | f: A \to B \right\}\)
② #$\left ( B^{A} \right ) = n^{m}$
※ B= {0,1}일때 \(B^{A} = \left\{ 0,1 \right\} ^{A} = 2^{A}\)
③ 여러 가지 정리
1) 집합 X에 대하여 #X=x일 때 #P(X)=$2^{x}$
2) 기수 x,y,z에 대하여
ⓐ$x^{y}x^{z}=x^{y+z}$
ⓑ$\left ( x^{y} \right )^{z} = x^{yz}$
ⓒ$\left ( xy \right )^{z} = x^{z}y^{z}$
3) $\varsigma=\aleph_{0}^{\aleph_{0}}=\varsigma^{\aleph_{0}}$
4) $2^{\varsigma}=\aleph_{0}^{\varsigma}=\varsigma^{\varsigma}$