집합의 확장

1. 기본 용어 정리

(1) 집합의 용어

• 원소 : 집합의 구성원
  ex) a가 A의 원소면 \(a \in A\)로 표기함

• 원소나열법 : 집합의 원소를 직접 나열하는 방법
  ex) {1,2,3,4}

• 조건제시법 : 집합의 원소를 조건으로 표기하는 방법
  ex) {x | x는 자연수}

• 공집합 : 원소가 없는 집합

• 전체집합 : 집합론적으로는 의미 없으나 해당 영역 전체를 나타내는 집합

(2) 집합간의 용어

부분집합

자기 자신을 포함한 부분을 이루는 집합
$\forall x \in A, x \in B$ 즉 $ A \subseteq B $

진부분집합

자기 자신을 제외한 부분을 이루는 집합 $ A \subseteq B \wedge A \neq B $ 즉 $ A \subset B $

초집합

ex) 집합 A가 집합 B의 부분 집합일때 B는 A의 초집합이다.

합집합

ex) 집합 A와 집합 B의 원소를 중복제거하고 모두 포함한 집합
\(A \cup B = \left\{ x | x \in A \vee x \in B \right\}\)

교집합

ex) 집합 A와 집합 B의 원소 중 중복인 원소만 모두 포함한 집합
\(A \cap B = \left\{ x | x \in A \wedge x \in B \right\}\)

여집합

ex) 집합 A의 원소를 제외한 나머지 원소의 집합을 여집합이라고 한다.
기호로는 \(A^{c}\)

차집합

\(A - B = \left\{ x | x \in A \wedge x \notin B \right\} = A \cap B^{c}\)

2. 집합족

(1) 집합족이란?

집합족

집합을 원소로 갖는 집합, F로 표기
ex) 멱집합 (P)

첨수족

첨수(번호)가 부여된 대상들로 이루어진 집합
ex) A = {1,2} 일때 멱집합 P(A)는
\(\left\{ \varnothing , \left\{ 1 \right\} ,\left\{ 2 \right\}, \left\{ 1,2 \right\} \right\}\)
첨수 집합 I는 {1,2,3,4}인데 이는 P(A)의 원소 개수가 4개이기 때문에 1에서 4까지이다.
P(A)를 첨수족을 이용하여 나타내면 아래와 같다.
집합족 F에 대해서 \(F = \left\{ A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} \right\}\)
= \(\left\{ A_{i}|i\in I \right\}\)

(2) 집합족의 연산

집합족의 합집합

\(\bigcup F = \bigcup _{A\in F}A = A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots = \left\{ x | \exists A \in F, x \in A \right\}\)

집합족의 교집합

\(\bigcap F = \bigcap _{A\in F}A = A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots = \left\{ x | \forall A \in F, x \in A \right\}\)

드 모르간의 법칙

\((\bigcup _{A\in f}A)^{c}=\bigcap _{A\in F}A^{c}\)
\((\bigcap _{A\in f}A)^{c}=\bigcup _{A\in F}A^{c}\)

분배법칙

\(A\cap (\bigcup_{B\in F}B) = \bigcup _{B\in F}(A \cap B)\) \(A\cup (\bigcap_{B\in F}B) = \bigcap _{B\in F}(A \cup B)\)

3. 곱집합

(1) 곱집합이란?

순서쌍 : (a,b) = {{a},{a,b}}
곱집합 : A X B = \(\left\{(x,y) | x \in A \wedge y \in B \right\}\)

(2) 곱집합의 연산

• $A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$
• $A \times (B \cap C) = (A \times B)\cap(A \times C)$
• $A \times (B \cup C) = ()A \times (B \cap C) = (A \times B)\cup(A \times C)$
• $A \times (B-C) = (A\times B)-(A \times C)$

(3) 집합족과 곱집합

임의의 집합족 F가 첨수집합 I에 의해서 첨수화 된 첨수족 {$A_{i}|i\in I$}의 곱집합 $\prod A_{i}$은
\(\prod A_{i} = A_{1} \times A_{2} \times \cdots = \left\{ (\alpha _{i})_{i\in I} | \forall i \in I, \alpha_{i}\in A_{i} \right\}\)

참고 자료

• 이상엽Math - 집합론 2강. 집합의 확장