통계학 - 쌍체비교, 두 모비율의 비교
쌍체 비교 (Matched Pair Comparisons)
모집단이 서로 독립이 아닐 경우, 즉 모집단의 데이터가 pair를 이룰 경우 어떻게 비교하는가에 대한 내용이다.
자료에 대한 가정
$D_{1},…,D_{n}$ : 임의 표본(단, $D_{i}=X_{i}-Y_{i}, i=1,…,n$)
통계량
- 표본 평균 : $ \overline{D} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}D_{i}$
- 표본 분산 : $s_{D}^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(\overline{D}-\overline{D})^{2}$
신뢰 구간
대표본
모평균 $\delta$에 대한 100(1-$\alpha$) 신뢰구간은 아래와 같다.
\[\overline{D} \pm z_{\alpha/2}(n-1)\times s_{D}/\sqrt{n}\]소표본
모평균 $\delta$에 대한 100(1-$\alpha$) 신뢰구간은 아래와 같다.
\[\overline{D} \pm t_{\alpha/2}(n-1)\times s_{D}/\sqrt{n}\]검정통계량
귀무 가설을 $H_{0} : \delta = \delta_{0}$라고 할때 검정 통계량은 아래와 같다.
\[t=\frac{ \overline{D} - \delta _{0}}{s_{D}/\sqrt{n}}\]두 모비율의 비교
두 개의 모집단이 있고 각각 모집단의 원소 형태가 성공, 혹은 실패로 나누어져있는 경우를 가정해보자. 그럴 경우 아래와 같이 나타낼 수 있다.
| 시행횟수 | 성공횟수 | 실패횟수 | 성공비율 | |
| 모집단 1 | $n_{1}$ | $X$ | $n_{1}-X$ | $p_{1}$ |
| 모집단 2 | $n_{2}$ | $Y$ | $n_{2}-Y$ | $p_{2}$ |
위의 상황에서 모집단의 성공 비율 차이를 검정하고 싶다면 아래와 같다.
점 추정치
\[\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}}\]\(\hat{p_{1}} = \frac{X}{n_{1}}\)
\(\hat{p_{2}} = \frac{Y}{n_{2}}\)
구간 추정치
$E(\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}}) = p_{1} - p_{2}$
$Var(\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}}) = \frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}} + \frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}$
$\Rightarrow \frac{(\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}})-(p_{1}-p_{2})}{\sqrt{\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}+\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}}} \sim N(0,1)$
위의 식에서 $p_{1},p_{2}$는 알수 없는 모수이니 표본 값으로 대체하면 아래와 같다.
$\Rightarrow \frac{(\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}})-(p_{1}-p_{2})}{\sqrt{\frac{\hat{p_{1}}(1-\hat{p_{1}})}{n_{1}}+\frac{\hat{p_{2}}(1-\hat{p_{2}})}{n_{2}}}} \sim N(0,1)$
따라서 $p_{1}-p_{2}$에 대한 $100\times(1-\alpha)%$ 근사적 신뢰구간은 아래와 같다.
\[(\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}}) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p_{1}}(1-\hat{p_{1}})}{n_{1}}+\frac{\hat{p_{2}}(1-\hat{p_{2}})}{n_{2}}}\]가설 수립
귀무 가설이 $H_{0} : p_{1} - p_{2} = p_{0}$에 대해서 아래의 3가지 대립 가설이 가능하다.
여기서 $z = \frac{(\hat{p_{1}}-\hat{p_{2}})-(p_{1}-p_{2})}{\sqrt{\frac{\hat{p_{1}}(1-\hat{p_{1}})}{n_{1}}+\frac{\hat{p_{2}}(1-\hat{p_{2}})}{n_{2}}}}$이고 대표본을 가정할때 기각역의 형태는 다음과 같다.
| 귀무가설 | 대립가설 | 기각역 | 비고 |
| $H_{0} : p_{1} - p_{2} = p _{0}$ | $H_{1} : p_{1} - p_{2} > p _{0}$ | $Z > Z_{\alpha}$ | 단측검정 |
| $H_{0} : p_{1} - p_{2} = p _{0}$ | $H_{1} : p_{1} - p_{2} < p _{0}$ | $Z < -Z_{\alpha}$ | 단측검정 |
| $H_{0} : p_{1} - p_{2} = p _{0}$ | $H_{1} : p_{1} - p_{2} \neq p _{0}$ | $|Z| > Z_{\alpha/2}$ | 양측검정 |