통계학 - 통계적 추론 - 분산의 추론

분산의 추론

개요

표본 $X_{1}, X_{2}…, X_{n}$이 $N(\mu,\sigma ^{2})$로를 따르면 임의 표본이라고 할때 모분산을 추론한다.

이때 점추정치은 표본분산 값이된다.

\[s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum (X_{i}-\overline{X})^{2}\]

구간 추정을 통해 신뢰구간을 구하려면 이야기가 조금 다른데, 이러한 모 분산은 표본 분산에 추가적인 처리를 한 값 W는 자유도가 n-1인 카이제곱(chi-square) 분포를 따른다.

\[W \equiv \frac{\sum(X_{i}-\overline{X}^{2})}{\sigma ^{2}} = \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}\]

이러한 원리로 모 분산의 구간을 추정 할 수 있으며 W값은 아래와 같이 나타낸다.

$W$ ~ $\chi ^{2}(n-1)$$

모 분산의 신뢰 구간 구하기

모 분산 $\sigma^{2}$에 대한 100(1-$\alpha$)% 신뢰구간은

\[1-\alpha = P[\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}} < \frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} < \chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}}]\]

이므로 이를 $\sigma^{2}$에 대하여 다시 표현하면 아래와 같다.

\[(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2}}},\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2} _{1-\frac{\alpha}{2}}})\]

따라서 모표준편차 $\sigma$에 대한 100(1-$\alpha$)% 신뢰구간은 아래와 같다.

\[(s\sqrt{\frac{n-1}{\chi^{2} _{\frac{\alpha}{2}}}}, s\sqrt{\frac{n-1}{\chi^{2} _{1-\frac{\alpha}{2}}}})\]

모 분산 가설 검정

검정 통계량 : $\chi^{2} = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}_{0}}$

귀무가설	대립가설	기각역	비고
$H_{0} : \sigma^{2} = \sigma^{2} _{0}$	$H_{1} : \sigma^{2} > \sigma^{2} _{0}$	$\chi^{2} > \chi^{2}_{\alpha}$	단측검정
$H_{0} : \sigma^{2} = \sigma^{2} _{0}$	$H_{1} : \sigma^{2} < \sigma^{2} _{0}$	$\chi^{2} < \chi^{2}_{1-\alpha}$	단측검정
$H_{0} : \sigma^{2} = \sigma^{2} _{0}$	$H_{1} : \sigma^{2} \neq \sigma^{2} _{0}$	$\chi^{2} > \chi^{2}_{\alpha}$ 또는 $\chi^{2} < \chi^{2}_{1-\alpha/2}$	양측검정

연습 문제

N(3,$1^{2}$)으로 부터 15개의 난수가 발생했다.

2.9, 1, 1.9, 2.37, 3.32, 3.79, 3.26, 1.9, 1.84, 2.58, 1.58, 2.9, 2.42, 3.42, 2.53

모표준편차 $\sigma$에 대한 90% 신뢰구간을 구하라.

해답

• $\overline{X} = 2.514$
• $s = 0.773$

신뢰 구간을 구하는 식에 $\overline{X}$와 $s$를 대입하고 자유도 14에서 카이 제곱 분포 값을 구하면 아래와 같다.

\[(s\sqrt{\frac{n-1}{\chi^{2} _{\frac{\alpha}{2}}}}, s\sqrt{\frac{n-1}{\chi^{2} _{1-\frac{\alpha}{2}}}})=(0.773\sqrt{\frac{15-1}{23.68}}, 0.773\sqrt{\frac{15-1}{6.57}})\]

따라서 90%에서의 신뢰구간은 (0.90, 1.13)이다.

참고자료

• R을 이용한 통계학 개론