행렬과 행렬식

행렬

용어 정리

• 성분(Element, Component) : 행렬안에 배열된 구성원, 항이나, 원소라고 하기도 한다.
• 행(row) : 가로줄
• 열(column) : 세로줄
• NxM 행렬 : N행과 M열로 이루어진 행렬
• 주대각선 (Main diagonal) : 행렬의 왼쪽 위 끝부터 오른쪽 아래 중간을 가로지르는 선
• 영 행렬(zero matrix) : 행렬의 모든 요소가 0인 행렬
• 전치 행렬(Transpose matrix) : aij일때 aji인 행렬
• 대칭 행렬(symmetric matrix) : 주대각선을 기준으로 위 아래 대칭인 행렬
• 정사각행렬(square matrix) : 행과 열 개수가 같은 행렬
• 단위 행렬(identity matrix) : 모든 대각 성분들이 1이고 나머지가 0인 행렬

행렬의 연산

덧셈과 뺄셈

• 각 요소를 더하거나 뺀다.

\[\alpha = \begin{bmatrix} 1& 2 \\ 3& 4 \\ \end{bmatrix} , \beta = \begin{bmatrix} 4& 3 \\ 2& 1 \\ \end{bmatrix}, \alpha + \beta = \begin{bmatrix} 1+4& 2+3 \\ 3+2& 4+1 \\ \end{bmatrix}\] \[\alpha = \begin{bmatrix} 1& 2 \\ 3& 4 \\ \end{bmatrix} , \beta = \begin{bmatrix} 4& 3 \\ 2& 1 \\ \end{bmatrix}, \alpha - \beta = \begin{bmatrix} 1-4& 2-3 \\ 3-2& 4-1 \\ \end{bmatrix}\]

상수배

• 각 항에 상수를 곱한다.

\[3\alpha = \begin{bmatrix} 3 \times 1& 3 \times 2 \\ 3 \times 3& 3 \times 4 \\ \end{bmatrix}\]

곱셈

• 행렬 A가 MxN이고 행렬 B가 NxA일때 AB는 MxA이다.
• 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 곱해서 더한다.

\[\alpha = \begin{bmatrix} 1& 2 \\ 1& 2 \\ \end{bmatrix} , \beta = \begin{bmatrix} 2& 3 \\ 4& 3 \\ \end{bmatrix}, \alpha\times \beta = \begin{bmatrix} 1\times 2+2\times 4& 1\times 3+2\times 3 \\ 1\times 2+2\times 4& 1\times 3+2\times 3 \\ \end{bmatrix}\]

연립일차방정식

행렬의 표현

다음의 연립일차방정식이 있을 때

\[\left\{\begin{matrix} x+2y=5 \\ 2x+3y=8 \end{matrix}\right.\]

두 가지 표현법이 있다.

첨가행렬

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\]

첨가 행렬 방식으로 나타낼 경우 가우스 조던 소거법으로 해를 구한다.

계수행렬, 상수행렬

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 8\\ \end{bmatrix}\]

계수행렬과 상수행렬 방식으로 표현할 경우 역행렬을 구하고 곱하여 x와 y값을 구한다.

가우스 조던 소거법

첫시작은 가우스가 했으나 중간에 조던이라는 사람이 방법을 끼워넣어 가우스 조던 소거법이라고 불린다. 다음 세가지 연산을 적용하여 식을 기약사다리꼴로 만들어 방법을 강구했다.

• 1. 한 행을 상수배로 만든다
• 1. 한 행을 상수배하여 다른 행에 더한다.
• 1. 두 행을 맞 바꾼다.

첫번째 연립 일차 방정식을 예를 들어 설명해보겠다.

ex)

1) 먼저 연립 일차 방정식을 첨가 행렬 방식으로 변경한다.

\[\left\{\begin{matrix} x+2y=5 \\ 2x+3y=8 \end{matrix}\right. \to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\]

2) 한 행을 상수배한다.

\[\begin{bmatrix} 1\times 2 & 2\times 2 & 5\times 2 \\ 2 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\]

3) 다른 행에 더한다 (혹은 뺀다), 이 경우 윗행에서 아래행을 빼겠다.

\[\begin{bmatrix} 2 & 4 & 10 \\ 2 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\]

4) 아직 기약사다리꼴이 아니므로 2~3번을 반복하되, 윗행을 3으로 곱한 뒤 아래 행에 빼준다.

\[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2-0 & 3-3 & 8-6 \\ \end{bmatrix}\]

5) 아래 행을 기약 사다리꼴로 만들기 위해 2로 나눠준다

\[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 \times 2 & 0 \times 2 & 2 \times 2 \\ \end{bmatrix}\]

6) 기약 사다리꼴이 되었으므로 다시 연립 일차 방정식 형태로 전환해준다.

\[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \to \left\{\begin{matrix} y=2 \\ x=1 \end{matrix}\right.\]

역행렬 이용

연립일차방정식 $AX=B$에서 A의 역행렬 $A^{-1}$이 존재하면 $X = A^{-1}B$이다

ex)

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 8\\ \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 5\\ 8\\ \end{bmatrix}\]

행렬식

행렬식의 정의

정사각행렬 $A$를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수 $det A = \left| A\right|$ 이때 $A$가 아래의 경우, 각각 행렬식은 다음과 같다.

0 X 0

\(det() = 0\)

1 X 1

\(det(a) = a\)

2 X 2

\(det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{11} \\ \end{pmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)

3 X 3

\(det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} = a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}\) \(= a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31}+ a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}- a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33}\)

4 X 4

\(det A = a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}-a_{14}M_{14}\)

역행렬

행렬식이 0이면 역행렬은 존재하지 않는다.
행렬식이 0이 아닌 행렬 A의 역행렬 $A^{-1}$는

\(A^{-1}=\frac{1}{det A}\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & ... \\ C_{12} & C_{22} & ... \\ ... & ... & ... \\ \end{pmatrix}\)
\((단, C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})\)

여기서 $C_{ij}$는 A 행렬에서 i행과 j행을 제외한 성분으로 만든 행렬을 뜻한다.
i와 j의 합이 홀수면 -1, 짝수면 1을 곱한다.
즉, i와 j의 합이 홀수면 음수, 짝수면 양수가 된다.

ex)
\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} =\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}\)

크래머 공식

연립 일차 방정식 $AX=B$에서, A가 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬 일때,

$ X=A^{-1}B$를 전체 다 계산하기 번거로우므로 특정 대상만 구할 수 있는 공식이 크래머 공식이다.

공식은 아래와 같다.

\(X_{j}=\frac{detA_{j}}{detA}= \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & ... & b_{1} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... & b_{2} & ... & a_{2n} \\ ... & & ... & & ... \\ a_{n1} & ... & b_{n} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n} \\ ... & & ... & & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}}\)
단, j=1, …, n이고 $A_{j}$는 A의 j번째 열을 B의 원소로 바꾼 행렬이다.

다음의 예시를 보자

ex)
\(\left\{\begin{matrix} x+2z=6 \\ -x-2y+3z=8 \\ -3x+4y+6=30 \end{matrix}\right.\)

다음식에서 x값을 크래머 공식으로 산출해보겠다.

먼저 해당 연립방정식을 행렬로 변경한다.

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \\ -3 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 30 \end{pmatrix}\]

다음 행렬의 행렬식 값을 구한다

\(det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \\ -3 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix}\)
\(= 1 \times -2 \times 6 + 0 \times 3 \times -3 + 2 \times -1 \times 4 - (2 \times -2 \times -3) - (1\times3\times4) - (0\times-1\times6)\)
\(= -44\)

x 값만을 구하려면 크래머 공식에 따라 다음의 식이 된다

\[x=\frac{det\begin{pmatrix} 6 & 0 & 2 \\ 8 & -2 & 3 \\ 30 & 4 & 6 \\ \end{pmatrix}}{-44} = \frac{40}{-44} = -\frac{10}{11}\]

참고 자료

• 이상엽Math- [선형대수학] 1강 행렬과 행렬식