1. 고윳값과 벡터 (1) 정의 체 F에 대한 벡터공간 V위의 선형사상 $L: V \to V$에 대하여 다음 두 조건 $v \neq \overrightarrow{0}$ $L(v) = \lambda v$ 를 만족하는 $\lambda \in F$와 $v \in V$를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다. ex) \(v = (2,3), L \to...

1. 선형 사상 (1) 선형사상 ① 정의 선형 사상은 관례적으로 L로 표기한다 (Linear map) F-벡터공간 V,W에 대하여 V의 성질을 보존하는, 다음 두 조건을 만족하는 사상 L : V -> W 1) 가산성 : $L(u+v) = L(u) + L(v) (u,v \in V)$ 2) 동차성 : $L(kv) = kL(v)v (k \in...

선택공리 (1) 선택함수 집합 \(X \left ( \neq \varnothing \right )\)의 부분집합들의 집합족을 \(\left\{ A_{i} \right\}\)이라 할때 \(\forall _i \in I, f(A_{i})\in A_{i}\) 인 \(f : \left\{ A_{i} \right\} \to X\) (2) 선택공리 공집합이 ...

부분순서집합 (1) 정의 ① 부분순서관계 (Partial Order Relation) 반사적, 반대칭적, 추이적인 관계 ex 1) 두 집합 A,B에 대하여 $ A \subseteq B$ 반사적 : $A \subseteq A$ 반대칭적 : $A \subseteq B \wedge B \subseteq A => A = B$ 추이적 : $A \s...

1. 집합론의 역설 (1) 칸토어의 역설 ① 칸토어의 정리 임의의 집합 X에 대하여 #X < #P(X)이다. 즉, X의 기수보다 X의 멱집합의 기수가 크다. ② 칸토어의 역설 모든 집합들의 집합을 U, 그 기수를 #U=k라 하자. 그러면 칸토어의 정리에 따라 U의 멱집합의 기수 #P(U)는 #P(U) = $2^{k}$ > k = #U이지...

1. 집합의 분류 (1) 유한, 무한 집합 ① 동등 두 집합 X, Y에 대하여 전단사 함수 $f : X \to Y$가 존재하면 X와 Y는 동등이다. ($X \approx Y$ 또는, $f: X \approx Y$) 이 말인 즉슨 집합의 크기가 같다. ② 유한, 무한집합 집합 X의 적당한 진부분집합 Y가 X와 동등하면 X는 무한 집합이다. 그리고...

1. 함수 (1) 함수의 정의 ① 함수 (Function) 다음을 만족하는 X에서 Y로의 관계 $f : X \to Y$ 에서 ⓐ 모든 x에 대하여 y가 있어야한다. \(\forall x \in X, \exists y \in Y, s.t. (x,y)\in f\) ⓑ 같은 input에 대해선 같은 output이 나와야한다. \((x,y_{1}) \...

1. 관계 (1) 용어의 정의 1) 관계 곱집합 A X B의 부분 집합 \(R = (A, B, P(x,y))\) 여기서 P(x,y)는 명제함수이다. ex) A={2,3}, B={4,6} AXB = {{2,4},{2,6},{3,4},{3,6}} 일때 P(x,y) : x는 y의 약수이다라고하면 R = {{2,4},{2,6},{3,6}} 2) ...

1. 기본 용어 정리 (1) 집합의 용어 원소 : 집합의 구성원 ex) a가 A의 원소면 \(a \in A\)로 표기함 원소나열법 : 집합의 원소를 직접 나열하는 방법 ex) {1,2,3,4} 조건제시법 : 집합의 원소를 조건으로 표기하는 방법 ex) {x | x는 자연수} 공집...

1. 명제와 증명 (1) 명제와 연결사 명제 : 참, 거짓이 분명하게 판단되는 문장 단순 명제 : 한 개의 명제 합성 명제 : 몇 개의 단순 명제들이 연결사에 의해 결합된 명제 연결사 : 두 명제 p와 q에 대해 아래의 연결사가 있음 명칭 기호 읽는 법 부정 ~$p$ not p 논리곱 $p \wedge q$...